Topologi Zariski

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Zariski topology di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Dalam geometri aljabar dan Aljabar komutatif, topologi Zariski adalah topologi yang dimana adalah utamanya didefinisi dengan set tertutup. Topologi ini sangat berbeda dari topologi-topologi yang digunakan dalam Analisis Real atau Analisis Kompleks; secara khususnya adalah bukan Hausdorff.^[1] Topologi ini dikenalkan secara utama oleh Oscar Zariski dan kemudian diumumkan untuk membuat set ideal prima dari cincin komutatif ruang topologi, dipanggil spektrum dari sebuah cincin.

Topologi Zariski membolehkan peralatan dari topologi untuk digunakan dalam mempelajari varietas aljabar, meskipun saat mendasari bidang yang tidak dibolehkan dala bidang topologi. Hal ini merupakan salah satu dari ide-ide dasar dari teori skema, dimana dibolehkan salah satu untuk membangun varietas aljabar umum dengan menempelkan bersama dari varietas affine dengan cara yang sama terhadap teori lipatan, dimana lipatan dibangun dari penempelan bersama dari bagan topologi, dimana subset atau himpunan bagian dari ruang affine riil.

Topologi Zariski dari varietas aljabar dari topologi yang dimana set tertutup juga varietas dari set aljabar.^[1]Dimana dalam sebuah kasus dari varietas aljabar lebih dari angka kompleks, topologi Zariski juga bagian kasar dari topologi yang biasa, seperti tiap set aljabar itu juga tertutup dari topologi yang biasa.

Generalisasi dari topologi Zariski terhadap set dari prima ideal atas cincin komutatif mengikuti dari Nullstellensatz milik Hilbert, yang membentuk korespondensi bijektif antara titik-titik dari sebuah varietas affine yang didefinisikan dari medan tertutup aljabar dan ideal maksimal dari sebuah cincin dari fungsi regulernya. Hal ini mensugestikan dengan mendefinisikan topologi Zariski pada set dari ideal maksimal dari cincin komutatif sebagai topologi yang sedimikian rupa hingga semua ideal maksimal tertutup jika dan hanya jika itu menjadi set dari semua ideal maksimal yang terdiri dari ideal yang diberikan. Ide utama yang lain dari teori skema Grothedieck adalah dengan mempertimbangkan poin, tidak hanya poin biasa yang sesuai dengan ideal maksimalnya, tetapi juga semua (tak dapat direduksi) dari varietas aljabarnya, dimana sesuai dengan ideal primanya. Hingga, topologi Zariski pada set ideal prima (spektrum) dari sebuah cincin komutatif adalah topologi yang sedemikian rupa hingga ideal primanya tertutup jika dan hanya jika itu menjadi set dari semua ideal primanya yang terdiri dalam ideal yang tetap.

1. ^ ^{a b} Hulek 2003, hlm. 19, 1.1.1..